Clases de numeros reales

Números irracionales

El conjunto de los números enteros añade al conjunto de los números enteros los opuestos de los números naturales: {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}. Es útil observar que el conjunto de los números enteros está formado por tres subconjuntos distintos: los enteros negativos, el cero y los enteros positivos. En este sentido, los enteros positivos son simplemente los números naturales. Otra forma de pensar en ello es que los números naturales son un subconjunto de los enteros.

El conjunto de los números racionales se escribe como [latex]|frac{m}{n}|m\text{ y }{n}\text{ son números enteros y }{n}\ne{ 0 }\right\}[/latex]. Obsérvese en la definición que los números racionales son fracciones (o cocientes) que contienen números enteros tanto en el numerador como en el denominador, y el denominador nunca es 0. También podemos ver que cada número natural, número entero y número entero es un número racional con un denominador de 1.

En algún momento de la antigüedad, alguien descubrió que no todos los números son racionales. Un constructor, por ejemplo, pudo haber descubierto que la diagonal de un cuadrado con lados unitarios no era 2 ni siquiera [latex]\frac{3}{2}[/latex], sino que era otra cosa. O un confeccionista podría haber observado que la relación entre la circunferencia y el diámetro de un rollo de tela era un poco más de 3, pero seguía sin ser un número racional. Se dice que estos números son irracionales porque no se pueden escribir como fracciones. Estos números constituyen el conjunto de los números irracionales. Los números irracionales no pueden expresarse como una fracción de dos enteros. Es imposible describir este conjunto de números con una sola regla, salvo decir que un número es irracional si no es racional. Así que lo escribimos como se muestra.

Números racionales

En varias situaciones, necesitaremos encontrar los factores de un número dado. Algunos de los factores de un número dado pueden encontrarse muy fácilmente, ya sea por observación o aplicando reglas sencillas. Vamos a ver algunas reglas de divisibilidad de los números.

Por ejemplo, tomemos el número 9123, la suma de los dígitos es 9 + 1 + 2 + 3 = 15, que es un múltiplo de 3. Por lo tanto, el número 9123 es divisible por 3. Del mismo modo, 342, 789, etc., son todos divisibles por 3. Si tomamos el número 74549, la suma de los dígitos es 29, que no es un múltiplo de 3. Por lo tanto, el número 74549 no es divisible por 3.

Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si el número formado con sus dos últimas cifras es divisible por 4. Por ejemplo, si tomamos el número 178564, las dos últimas cifras forman 64 ya que el número 64 es divisible por 4 el número 178564 es divisible por 4.

Divisibilidad por 7: Si la diferencia entre el número de decenas del número y el doble de la cifra de las unidades es divisible por 7, entonces el número dado es divisible por 7. En caso contrario, no es divisible por 7.

Números enteros

Al igual que los números naturales que aprendemos primero de niños, los números reales están ordenados, lo que podemos definir intuitivamente como el concepto de que dado un par de números reales únicos, uno de ellos es mayor que el otro (y, a la inversa, uno es menor que el otro). Así, podemos ilustrar los números reales utilizando una recta numérica -en este caso, la recta real o recta de los números reales-. A cada número real le corresponde un punto en la recta, y esta recta se dibuja generalmente de forma horizontal, con la dirección de la derecha representando el valor creciente y la dirección de la izquierda representando el valor decreciente. El número real correspondiente a un punto concreto de la recta se denomina coordenada. A continuación se muestra una ilustración de la recta de los números reales. Por razones prácticas obvias, no se pueden mostrar todos los números reales, así que generalmente mostramos las coordenadas para un subconjunto de los números reales (a menudo, los enteros, pero diferentes situaciones requieren diferentes subconjuntos). Se muestra un punto de coordenadas para el número 1,5.

Piensa en un número cualquiera; independientemente del número, siempre puedes pensar en un número que sea mayor o menor que el elegido. Por lo tanto, decimos que la recta numérica real se extiende hasta el infinito tanto en sentido positivo como negativo. Lo que se ilustra arriba es una porción de la recta real. Sin embargo, observe cuidadosamente que el infinito (típicamente escrito como ∞) no es un número real – simplemente representa el hecho de que la recta real se extiende indefinidamente. En la dirección positiva (derecha), la recta real se extiende hacia +∞ (infinito positivo); en la dirección negativa (izquierda), se extiende hacia -∞ (infinito negativo).

Símbolo de los números reales

Cualquier número que se pueda encontrar en el mundo real es un número real. Encontramos números en todas partes. Los números naturales se utilizan para contar objetos, los racionales para representar fracciones, los irracionales para calcular la raíz cuadrada de un número, los enteros para medir la temperatura, etc. Estos diferentes tipos de números forman una colección de números reales. En esta lección aprenderemos todo sobre los números reales y sus importantes propiedades.

Los números reales incluyen los números racionales, como los enteros positivos y negativos, las fracciones y los números irracionales. Ahora bien, ¿qué números no son reales? Los números que no son ni racionales ni irracionales son números no reales, como, √-1, 2 + 3i, y -i. Estos números incluyen el conjunto de los números complejos, C.

Sabemos que los números reales incluyen los números racionales y los irracionales. Por tanto, no existe ningún número real que no sea ni racional ni irracional. Esto significa simplemente que si tomamos un número cualquiera de R, éste es racional o irracional.

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